Soal Persamaan Kuadrat dalam Eksponen - Kelas X IPA

Udah lama nggak ngejawab soal pertanyaan di twitter, kali ini coba saya jawab meskipun terlambat. Soal ini ditanyakan oleh @ahmadhidayatID

Soal Persamaan Kuadrat dalam Eksponen - Kelas X IPA

Solusi dari @isranurhadi

Untuk bisa soal ini sangatlah mudah jika kalian bisa menguasai konsep dasar dari eksponen dan persamaan kuadrat (mencari akar-akar dari persamaan kuadrat)

1. Lihat hubungan dari persamaan yang diberikan, berapakah basis yang akan digunakan? jawabannya $3$, artinya kita harus membuat basis di kedua ruas bernilai $3$

   $${3^{3{x^2} + 15x - 20}} = \frac{{{9^{ - 1}}}}{{{3^{ - 2}}}}$$

   $${3^{3{x^2} + 15x - 20}} = \frac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^{ - 1}}}}{{{3^{ - 2}}}}$$

   Catatan: ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m \times n}}$

   $${3^{3{x^2} + 15x - 20}} = \frac{{{3^{ - 2}}}}{{{3^{ - 2}}}}$$

   Karena $\frac{{{3^{ - 2}}}}{{{3^{ - 2}}}} = 1$ maka:

   $${3^{3{x^2} + 15x - 20}} = 1$$

   dan $1$ bisa kita ubah menjadi bentuk pangkat dengan basis apapun asalkan pangkatnya bernilai $0$ sehingga $1 = 3^0$ sehingga persamaan menjadi

   $${3^{3{x^2} + 15x - 20}} = {3^0}$$

2. Setelah kita menyamakan basis dikedua persamaan, maka kita bisa mengoperasikan pangkatnya saja. Catatan: ${p^{f\left( x \right)}} = {p^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$

   $$3{x^2} + 15x - 20 = 0$$

3. Lalu kita mencari akar-akar persamaan kuadratnya, pertama kita cari nilai diskriminannya $D = \sqrt {{b^2} - 4ac}$ untuk menentukan apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut merupakan akar real atau tidak. Dari $3{x^2} + 15x - 20 = 0$ dapat ditentukan $a = 3$, $b=15$ dan $c=-20$ dari bentuk umum persamaa kuadrat $a{x^2} + bx + c = 0$.

   $$D = {15^2} - 4\left( 3 \right)\left( { - 20} \right) = 465$$

   Karena $D>0$ maka akar-akar persamaan kuadrat adalah real berlainan.
   Catatan:

   $$D > 0{\rm{; akar - akar}}\;{\rm{real}}\;{\rm{berlainan}}$$

   $$D = 0{\rm{; akar - akar}}\;{\rm{real}}\;{\rm{kembar}}$$

   $$D < 0{\rm{; akar - akar}}\;{\rm{tidak}}\;{\rm{real}}$$

   Langkah ini dilakukan jika kalian kesulitan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran
4. Karena $D>0$ dan kita kesulitan untuk memfaktorkan, maka kita bisa gunakan Rumus ABC (Al khawarizmi)

   $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}$$

   sehingga

   $${x_{1,2}} = \frac{{ - 15 \pm \sqrt {465} }}{6}$$

   kemudian nilai dari akar-akarnya bisa kita tulis seperti:

   $${x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {465} }}{6}\;\;{\rm{atau}}\;\;{x_1} = \frac{1}{6}\left( { - 15 + \sqrt {465} } \right)$$

   dan

   $${x_2} = \frac{{ - 15 - \sqrt {465} }}{6}\;\;{\rm{atau}}\;\;{x_2} = \frac{1}{6}\left( { - 15 - \sqrt {465} } \right)$$

oke, semoga bisa dipahami ya.

Salam,

@isranurhadi