Soal Aplikasi Eksponen dan Hubungannya dengan Logaritma

Posted on Posted in Eksponen, Logaritma

Kali ini saya mau bahas sebuah soal yang seru banget nih. Soal ini ditanyakan di line official Istana Matematika. Mmmmh sepertinya setiap soal yang seru bakal diangkat ke website Istana Matematika deh. So, kirim ke saya soal yang seru ya jangan lupa dengan proses pengerjaanmu soalnya saya gak mau langsung menjawab soal kamu tanpa diskusi! 🙂

Lanjut ya, soal ini biasanya ditampilkan untuk ujian universitas level matematika dasar karena memang tidak terlalu susah tetapi soal ini membutuhkan pemahaman mutli konsep yang kuat untuk bisa mengerjakannya. Soal ini saya namakan Soal Aplikasi Eksponen dan Hubungannya dengan Logaritma. Ini dia soalnya.

Soal dari Christian Filemon

Bagaimana dengan soalnya? Menarik gak? Kalau kita perhatikan ada logaritma dan bentuk akar di dalam akar dan itu berulang ya. Agak pusing juga nih bagi yang belum bisa menemukan ide mengerjakannya. Kira-kira langkah apa yang harus kita lakukan nih agar soalnya bisa dengan mudah kita kerjakan? Disini ada beerapa pilihan, kita bisa gerak dari yang diketahui atau dari yang ditanyakan, bebas sih yang penting hasilnya ketemu DAN proses pengerjaannya jelas, itu yang terpenting! 🙂

Baca juga: Contoh soal bentuk akar dalam akar

Kalau saya lebih suka gerak dari pertanyaannya karena kalau gerak dari yang diketahui udah kelihatan arahnya tanpa harus ditulis hehe. Tapi saya akan coba gerak dari yang diketahui terlebih dahulu karena ini yang lebih mudah. Disini kita punya ^4\log a = p dan ^8\log b = q, untuk ^4\log a = p kita bisa ubah menjadi 4^p = a dan untuk ^8\log b = q kita bisa ubah menjadi 8^q = b menggunakan konsep

^a\log b = c \Leftrightarrow {a^c} = b

Selanjutnya kita perhatikan pertanyaannya

\sqrt {{a^5}\;\sqrt[3]{{b\sqrt {{a^5}{\text{ }}\sqrt[3]{{b\sqrt {{a^5}{\text{ }}\sqrt[3]{{b\sqrt {...} }}} }}} }}}

Pada pertanyaannya kan tidak diketahui hasilnya berapa, bener gak? atau yang lebih mudah hasilnya sama dengan berapa nih, ini penting jugal lho. Kita bisa CIPTAKAN hasilnya, pertama kita harus ciptakan dulu sama dengannya dengan sebuah variabel, misal x. Sehingga pertanyaannya bisa kita tulis

\sqrt {{a^5}\;\sqrt[3]{{b\sqrt {{a^5}{\text{ }}\sqrt[3]{{b\sqrt {{a^5}{\text{ }}\sqrt[3]{{b\sqrt {...} }}} }}} }}} = x

Oke, sampai disini kira diapain lagi ya? Mmmmh lagi-lagi kita harus bisa menemukan ide karena itu yang terpenting dalam mengerjakan soal matematikasehingga kita bisa mengerjakan soal matematika dengan benar.

Baca juga: Cara belajar matematika yang benar

Kita lanjut lagi ya, kalau kita perhatikan pertanyaannya. Bentuk akar tersebut ternyata berulang, ada yang bisa lihat? Bentuk akar tersebut berulang pada bentuk yang sama dengan hasilnya! Jeng jeng, ada yang bisa perhatikan? Oke, bagi yang tidak bisa melihat saya akan coba bantu mengilustrasikannya ya

Bentuk Akar dalam Akar

Nah, sekarang pertanyaannya bisa kita tulis menjadi

\sqrt {{a^5}\;\sqrt[3]{{b\;x}}} = x

Kemudian perhatikan operasi aljabar di bawah ini dengan menggunakan sifat eksponen:

  1. Kedua ruas kita pangkatkan dengan 2

    {\left( {\sqrt {{a^5}\;\sqrt[3]{{b\;x}}} } \right)^2} = {\left( x \right)^2}

    diperoleh

    {a^5}\;\sqrt[3]{{b\;x}} = {x^2}

  2. Kedua ruas kita pangkatkan dengan 3

    {\left( {{a^5}\;\sqrt[3]{{b\;x}}} \right)^3} = {\left( {{x^2}} \right)^3}

    diperoleh

    {\left( {{a^5}} \right)^3}{\left( {\sqrt[3]{{b\;x}}} \right)^3} = {x^6}

    {a^{15}}b\;x = {x^6}

  3. Kedua ruas dibagi dengan x

    \frac{{{a^{15}}b\;x}}{x} = \frac{{{x^6}}}{x}

    diperoleh

    {a^{15}}b = {x^5}

  4. Kedua ruas kita pangkatkan dengan\frac{1}{5}

    {\left( {{a^{15}}b} \right)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{x^5}} \right)^{\frac{1}{5}}}

    diperoleh

    {\left( {{a^{15}}} \right)^{\frac{1}{5}}}{\left( b \right)^{\frac{1}{5}}} = x

    {a^3}{\left( b \right)^{\frac{1}{5}}} = x

Oke, sekarang kita sudah mempunyai bentuk sederhana dari nilai x yang merupakan jawabannya. Maka dengan kita substitusi nilai 4^p = a dan 8^q = b ke dalam persamaan {a^3}{\left( b \right)^{\frac{1}{5}}} = x kita akan memperoleh

x = {\left( {{4^p}} \right)^3}{\left( {{8^q}} \right)^{\frac{1}{5}}}

x = {4^{3p}} \cdot {8^{\frac{q}{5}}}

Sampai disini sebenarnya kita sudah menemukan jawabannya tetapi ada hasil yang lebih sederhana dengan kita cari hubungan antara 4 dan 8, yaitu 2^2 dan 2^3 sehingga bentuk sederhananya menjadi

x = {\left( {{2^2}} \right)^{3p}} \cdot {\left( {{2^3}} \right)^{\frac{q}{5}}}

x = {2^{6p}} \cdot {2^{\frac{{3q}}{5}}}

x = {2^{6p + \frac{{3q}}{5}}}

x = {2^{\frac{{30p + 3q}}{5}}}

Oke, akhirnya selesai juga deh pembahasan soalnya. Bagaimana? semoga bisa dimengerti ya 🙂

Catatan: Tujuan kita belajar matematika adalah menyederhanakan sebuah masalah bukan menambah masalah itu sendiri.

Sedikit tambahan untuk soal eksponen dan logaritma yang seru dalam bentuk video
Eksponen - Prediksi SBMPTN Matematika Dasar

Klik tautan ini jika video di atas tidak muncul.

Pembahasan Soal No 18 Matematika Dasar SIMAK UI 2014 Kode 511

Klik tautan ini jika video di atas tidak muncul.

Oke deh, segitu dulu ya semoga tulisan ini bermanfaat.

Salam,
@isranurhadi

Add Official Line@ dari Istana Matematika untuk berdiskusi dengan saya! Caranya:
 

  1. Search @istanamatematika di Line kamu, ingat pake "@" ya.
  2. Add langsung
    Add Friend
  3. Klik @IstanaMatematika
  4. Scan barcode