Mengubah Bentuk Umum Irisan Kerucut Tanpa Rumus - XI MIA

Posted on Posted in Irisan Kerucut

Ini adalah tulisan pertama saya tentang materi irisan kerucut, materi irisan kerucut ini adalah materi yang seru dan mengasyikkan jika dipelajari dengan "benar" karena materi ini memang luar biasa menyulitkan jika hanya bermodalkan menghapal rumus saja tanpa kuat pemahaman aljabar dan paham cara menggambarnya (geometri). Oke untuk pertama kali saya akan mengajarkan pemahaman aljabar yang sangat dibutuhkan dalam irisan kerucut. Untuk cara menggambarnya akan saya bahas terpisah ya.

Secara umum rumus persamaan umum irisan kerucut dapat dinyatakan dengan bentuk:

Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0

Lalu

  1. Jika A=B dan A \neq B \neq 0 maka irisan kerucutnya berbentuk lingkaran, dengan persamaan umumnya menjadi

    Ax^{2}+Ay^{2}+Cx+Dy+E=0

    Contoh: x^{2}+y^{2}+2x-4y-20=0.
  2. Jika A \neq 0 dan B= 0 atau A = 0 dan B \neq0 maka irisan kerucutnya berbentuk parabola, dengan persamaan umumnya menjadi

    Ax^{2}+Cx+Dy+E=0

    atau

    By^{2}+Cx+Dy+E=0

    Contoh: x^{2}-6x-2y+7=0 atau y^{2}+4x+2y-7=0.
  3. Jika A \neq B \neq 0 serta A dan B bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif) maka irisan kerucutnya berbentuk elips, dengan persamaan umumnya menjadi

    Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0

    Contoh: x^{2}+4y^{2}-4x-8y-92=0.
  4. Jika A \neq B \neq 0 serta A dan B bertanda berbeda maka irisan kerucutnya berbentuk hiperbola, dengan persamaan umumnya menjadi

    Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0

    Contoh: 9x^{2}-4y^{2}-18x-24y+9=0.

Kemudian, masing-masing irisan kerucut ini juga mempunyai persamaan-persamaan khususnya lho yang tujuannya untuk memudahkan kita mengingat titik-titik penting, jarak-jarak penting, dan garis-garis penting yang dibutuhkan. Apa saja sih? Oke mari kita bahas satu-persatu:

Persamaan Lingkaran. Pada persamaan lingkaran terdapat titik pusat lingkaran sebagai titik penting dan jari-jari lingkaran sebagai jarak penting.

  • Jika titik pusatnya adalah \left(0,0\right) dan jari-jarinya r maka persamaan lingkarannya akan berbentuk x^2 + y^2 = r^2
  • Jika titik pusatnya adalah \left(h,k\right) dan jari-jarinya r maka persamaan lingkarannya akan berbentuk \left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2

Contohnya: 

  • x^2 + y^2 = 5^2 untuk persamaan lingkaran yang berpusat di \left(0,0\right) dan berjari-jari 5.
  • \left(x+1\right)^2 + \left(y-2\right)^2 = 25 untuk persamaan lingkaran yang berpusat di \left(-1,2\right) dan berjari-jari 5.

Oke, sampai disini secara tidak langsung kita mempunyai tiga buah bentuk umum dari persamaan lingkaran, yaitu:

  1. x^2 + y^2 = r^2. Dengan pusat \left(0,0\right) atau bisa ditulis P\left(0,0\right) dan jari-jari r.
  2. \left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2. Dengan P\left(h,k\right) dan jari-jari r.
  3. Ax^{2}+Ay^{2}+Cx+Dy+E=0. Dengan P\left(??,??\right) dan jari-jari ??

Pertanyaannya? Lebih gampang bentuk yang manakah untuk menentukan titik pusat dan jari-jarinya? Jawabannya jelas ya, yang no 1 dan no 2. Untuk no 3 kita akan sedikit kesulitan dalam menentukan titik pusat dan jari-jarinya kecuali menggunakan rumus. Nah, rumus inilah yang akan saya bahas (baca: minimalis biar gak jadi hapalan). Seperti tagline dari Istana Matematika, yaitu Minimalis Rumus Utamakan Pemahaman. Mari kita analisa:

Kita akan gunakan persamaan x^{2}+y^{2}+2x-4y-20=0 sebagai contoh dari bentuk umum persamaan lingkaran Ax^{2}+Ay^{2}+Cx+Dy+E=0. Tapi, sebelumnya saya ingin mengajak kalian menjabarkan persamaan lingkaran berikut:

\left(x+1\right)^2 + \left(y-2\right)^2 = 25

x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25

x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 + 4 = 25

x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 - 25 = 0

x^2 + y^2 +2x - 4y - 20 = 0

Wah ternyata bentuk \left(x+1\right)^2 + \left(y-2\right)^2 = 25 sama dengan bentuk  x^{2}+y^{2}+2x-4y-20=0. Dengan kata lain, kita bisa saja mencari pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran yang berbentuk x^{2}+y^{2}+2x-4y-20=0 dengan melakukan kebalikan dari cara penjabaran persamaan lingkaran yang berbentuk \left(x+1\right)^2 + \left(y-2\right)^2 = 25 ya. Bagaimana caranya? Yuk mari kita bahas.
  1. Kita tulis dulu aja persamaannya ya

    x^{2}+y^{2}+2x-4y-20=0

    Lalu persamaannya kita ubah menjadi seperti

    x^{2} + 2x +y^{2}-4y-20=0

    Tujuannya sih biar variabel x dan y nya berdekatan saja agar kita bisa dengan mudah melakukan kuadrat sempurna. Apa itu kuadrat sempurna? Nanti akan saya jelaskan secara mendalam ya 🙂
  2. Lalu ubah bentuk x^2 + 2x menjadi \left(x+1\right)^2 - 1 dan bentuk y^2 -4y menjadi \left(y-2\right)^2 - 4 menggunakan konsep kuadrat sempurna sehingga diperoleh

    \left(x+1\right)^2 -1 + \left(y-2\right)^2 -4 - 20 = 0

    Kita sederhanakan menjadi

    \left(x+1\right)^2 + \left(y-2\right)^2 = 25

  3. Ketemu deh bentuk yang mudah untuk menentukan pusat dan jari-jari sebuah lingkaran ya, tanpa menggunakan rumus. Asyik kan? 🙂
Oke, sekarang saya akan memberikan penjelasan tentang kuadrat sempurna dalam bentuk video agar kalian bisa dengan mudah menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan mudah karena ini penting banget lho dan sangat berguna banget dalam irisan kerucut serta aljabar secara umum. Jadi enggak bakal rugi deh memahaminya 🙂
 
Pengenalan Bentuk Kuadrat Sempurna

Klik tautan ini jika video di atas tidak muncul.
 
Mengubah Bentuk Kuadrat menjadi Bentuk Kuadrat Sempurna
Klik tautan ini jika video di atas tidak muncul.
 

Jika kalian sudah menonton video pemahaman bentuk kuadrat sempurna di atas, sekarang saya mau kasih contoh baru nih. Soalnya seperti ini:

x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0

Tentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran menggunakan Kuadrat Sempurna. Coba dikerjakan dulu ya. Lalu cocokkan jawabanmu dengan menonton pembahasannya melalui video di bawah ini:

 
Mencari Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran tanpa Rumus - Irisan Kerucut

Klik tautan ini jika video di atas tidak muncul.
 

Kesimpulan untuk persamaan lingkaran

Karena yang kita butuhkan di dalam mempelajari persamaan lingkaran pertama kali adalah menentukan titik pusat dan jari-jarinya, maka pahami bentuk umum persamaan lingkaran berikut:

  1. x^2 + y^2 = r^2. Dengan titik pusatnya adalah P\left(0,0\right) dan jari-jarinya r.
  2. \left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2. Dengan titik pusatnya adalah P\left(h,k\right) dan jari-jarinya r.

Jika kalian menemukan bentuk seperti

Ax^{2}+Ay^{2}+Cx+Dy+E=0

maka gunakan konsep kuadrat sempurna agar bentuknya menjadi seperti

\left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2

sehingga kita bisa dengan mudah menentukan titik pusat dan jari-jarinya.

 

Persamaan Parabola.  Jika pada persamaan lingkaran hanya terdapat titik-titik penting dan jarak-jarak penting, maka pada persamaan parabola ini kalian akan menemukan garis-garis penting. Apa saja itu? Mmmmh sebelum saya bahas, saya ingin mengajak kalian mengingat materi fungsi kuadrat yang pernah kalian pelajari pas kelas X karena memang berhubungan. Jika pada fungsi kuadrat kalian hanya mempunyai kurva parabola yang terbuka ke atas (persamaan umumnya y = ax^2) dan terbuka ke bawah (persamaan umumnya y = -ax^2) pada materi persamaan parabola ini kalian akan menemukan tambahan yang bisa terlihat dari jenis kurva parabolanya yaitu: kurva parabola yang terbuka ke kanan dan terbuka ke kiri. Jadi nanti akan ada empat jenis kurva parabola yang akan kalian pelajari pada persamaan parabola. Lumayan banyak ya hehehe.

Agar tidak terlalu banyak dan berat, saya coba lebih ke aljabarnya dulu aja ya agar kalian bisa menentukan titik-titik penting dari persamaan parabola, yaitu titik puncak dan titik fokus. Jarak-jarak penting dan garis-garis penting serta cara menggambar kurva beserta contoh kurvanya akan dibahas terpisah. Konsep yang digunakan untuk menentukan titik-titik penting tidak jauh dari kuadrat sempurna lagi. So jangan lupa pahami video kuadrat sempurna yang saya berikan di atas tadi ya. Dan titik-titik penting yang dibahas hanya titik puncak dan titik fokus.

Bentuk umum persamaan parabola dengan titik puncak A\left(0,0\right) dengan p adalah sebuah nilai untuk menentukan koordinat titik fokusnya:

  1. x^2 = 4py adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(0,p\right).
  2. x^2 = -4py adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(0,-p\right).
  3. y^2 = 4px adalah parabola yang terbuka ke kanan dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(p,0\right).
  4. y^2 = -4px adalah parabola yang terbuka ke kiri dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(-p,0\right).

Contohnya:

  1. x^2 = 8y = 4\left(2\right)y adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(0,2\right).
  2. x^2 = -8y = -4\left(2\right)y adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(0,-2\right).
  3. y^2 = 12x = 4\left(3\right)x adalah parabola yang terbuka ke kanan dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(3,0\right).
  4. y^2 = -12x = -4\left(3\right)x adalah parabola yang terbuka ke kiri dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(-3,0\right).

Bentuk umum persamaan parabola dengan titik puncak A\left(h,k\right) dengan p adalah sebuah nilai untuk menentukan koordinat titik fokusnya:

  1. \left(x-h\right)^2 = 4p\left(y-k\right) adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h,k+p\right).
  2. \left(x-h\right)^2 = -4p\left(y-k\right) adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h,k-p\right).
  3. \left(y-k\right)^2 = 4p\left(x-h\right) adalah parabola yang terbuka ke kanan dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h+p,k\right).
  4. \left(y-k\right)^2 = -4p\left(x-h\right) adalah parabola yang terbuka ke kiri dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h-p,k\right).

Contohnya: 

  1. \left(x-3\right)^2 = 2\left(y+1\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)\left(y+1\right) adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(3,-1\right) dan titik fokusnya adalah F\left(3,-1+ \frac{1}{2}\right) = \left(3,- \frac{1}{2}\right).
  2. \left(x+3\right)^2 = -2\left(y-1\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)\left(y-1\right) adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan titik puncaknya adalah A\left(-3,1\right) dan titik fokusnya adalah F\left(-3,1- \frac{1}{2}\right) = \left(-3, \frac{1}{2}\right).
  3. \left(y-1\right)^2 = 4\left(x+2\right) = 4\left(1\right)\left(x+2\right) adalah parabola yang terbuka ke kanan dengan titik puncaknya adalah A\left(-2,1\right) dan titik fokusnya adalah F\left(-2+1,1\right) = \left(-1,1\right).
  4. \left(y+1\right)^2 = -4\left(x-2\right) = -4\left(1\right)\left(x-2\right) adalah parabola yang terbuka ke kiri dengan titik puncaknya adalah A\left(2,-1\right) dan titik fokusnya adalah F\left(2-1,-1\right) = \left(1,-1\right).

Oke, dari delapan bentuk persamaan parabola di atas kita bisa dengan mudah menentukan titik puncak dan titik fokusnya, lalu bagaimana dengan bentuk Ax^{2}+Cx+Dy+E=0 dengan contoh x^{2}-6x-2y+7=0 dan bentuk By^{2}+Cx+Dy+E=0 dengan contoh y^{2}+4x+2y-7=0? Apakah kita bisa dengan mudah menentukan titik puncak dan titik fokusnya secara langsung? Ya bisa saja asalkan kita hapal rumusnya hehe. Tetapi disini saya tidak akan menjelaskan dengan rumus melainkan dengan konsep kuadrat sempurna. Oke perhatikan ya:

  1. Untuk bentuk Ax^{2}+Cx+Dy+E=0 dengan contoh x^{2}-6x-2y+7=0 kita bisa lakukan

    \left(x-3\right)^{2}-9-2y+7=0

    \left(x-3\right)^{2}-2y-2=0

    \left(x-3\right)^{2}-2\left(y+1\right)=0

    \left(x-3\right)^{2}=2\left(y+1\right)

    \left(x-3\right)^{2}=4\left(\frac{1}{2}\right)\left(y+1\right)

    Setelah kita ketemu bentuk umumnya, kita bisa menentukan jenis parabolanya yaitu terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(3,-1\right) dan titik fokusnya adalah F\left(3,-1+ \frac{1}{2}\right) = \left(3,- \frac{1}{2}\right).
  2. Untuk bentuk By^{2}+Cx+Dy+E=0 dengan contoh y^{2}+4x+2y-7=0 kita bisa lakukan

    y^{2}+2y+4x-7=0

    \left(y+1\right)^{2}-1+4x-7=0

    \left(y+1\right)^{2}+4y-8=0

    \left(y+1\right)^{2}+4\left(x-2\right)=0

    \left(y+1\right)^{2}=-4\left(x-2\right)

    \left(y+1\right)^{2}=-4\left(1\right)\left(x-2\right)

    Setelah kita ketemu bentuk umumnya, kita bisa menentukan jenis parabolanya yaitu terbuka ke kiri dengan dengan titik puncaknya adalah A\left(2,-1\right) dan titik fokusnya adalah F\left(2-1,-1\right) = \left(1,-1\right).

Kesimpulan untuk persamaan parabola

Karena yang kita butuhkan di dalam mempelajari persamaan parabola pertama kali adalah menentukan titik puncak dan titik fokusnya maka pahami bentuk umum persamaan parabola berikut:

Bentuk umum persamaan parabola dengan titik puncak A\left(0,0\right) dengan p adalah sebuah nilai untuk menentukan koordinat titik fokusnya:

  1. x^2 = 4py adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(0,p\right).
  2. x^2 = -4py adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(0,-p\right).
  3. y^2 = 4px adalah parabola yang terbuka ke kanan dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(p,0\right).
  4. y^2 = -4px adalah parabola yang terbuka ke kiri dengan titik puncaknya adalah A\left(0,0\right) dan titik fokusnya adalah F\left(-p,0\right).

Bentuk umum persamaan parabola dengan titik puncak A\left(h,k\right) dengan p adalah sebuah nilai untuk menentukan koordinat titik fokusnya:

  1. \left(x-h\right)^2 = 4p\left(y-k\right) adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h,k+p\right).
  2. \left(x-h\right)^2 = -4p\left(y-k\right) adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h,k-p\right).
  3. \left(y-k\right)^2 = 4p\left(x-h\right) adalah parabola yang terbuka ke kanan dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h+p,k\right).
  4. \left(y-k\right)^2 = -4p\left(x-h\right) adalah parabola yang terbuka ke kiri dengan titik puncaknya adalah A\left(h,k\right) dan titik fokusnya adalah F\left(h-p,k\right).

Jika kalian menemukan bentuk seperti

Ax^{2}+Cx+Dy+E=0

atau

By^{2}+Cx+Dy+E=0

maka gunakan konsep kuadrat sempurna agar bentuknya menjadi seperti

\left(x-h\right)^2 = 4p\left(y-k\right)

atau

\left(y-k\right)^2 = 4p\left(x-h\right)

sehingga kita bisa dengan mudah menentukan titik puncak dan titik fokusnya.

Catatan untuk persamaan parabola: Jangan lupa perhatikan jenis parabolanya ya, apakah terbuka ke atas, bawah, kanan atau kiri.

 

Persamaan Elips. Sama halnya dengan persamaan parabola, pada persamaan elips juga terdapat titik-titik penting, yaitu titik puncak dan titik fokus tetapi masing-masing jumlahnya ada dua dan kita membutuhkan teorema phytagoras untuk mencari titik fokusnya.

 

Persamaan Hiperbola. Menyusul ya.

 
Oke deh, segitu dulu ya semoga tulisan ini bermanfaat.
 

Salam,
@isranurhadi

Add Official Line@ dari Istana Matematika untuk berdiskusi dengan saya! Caranya:

  1. Search @istanamatematika di Line kamu, ingat pake "@" ya.
  2. Add langsung
    Add Friend
  3. Klik @IstanaMatematika
  4. Scan barcode