LAMBERT OMEGA-FUNCTION

Posted on Posted in Campuran

Pernahkah Anda menemukan persoalan logaritma atau eksponensial yang cukup kompleks, semisal x^x = 28; ataupun soal logaritma natural (ln) seperti ln2x= frac{x}{2}. Tentunya persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara aljabar biasa. Persamaan di atas memerlukan bantuan teorema khusus agar ditemukan sebuah penyelesaiannya.

Seperti yang dikutip dari laman Wikipedia , Lambert W-Function juga disebut dengan fungsi omega atau perkalian logaritma. Lambert W Function ditemukan oleh Johan Heinrich Lambert. Fungsi ini juga bisa disebut dengan fungsi relasi invers dari f(w)= w e^w di mana e^w adalah fungsi eksponen, dan w adalah sebuah bilangan kompleks. Atau dengan kata lain, fungsi tersebut dapat ditulis:

x= w(x)e^{w(x)}

Berikut adalah dua teorema yang fungsi omega berikut.

W(e)=1

y=xe^x Leftrightarrow x=W(y)

Berikut adalah penyelesaian untuk soal ln2x= frac{x}{2}

ln??2x= frac{x}{2}

2 ln??2x= x?

ln ?(2x)?^2=x

1= frac{ln ? (2x)?^2}{x}

frac{1}{4}=frac{1}{4x} ln??(?2x)?^2 ? (fungsi logaritma y = n ln (x) Leftrightarrow y = ln (x)^{n}

frac{1}{4}=ln(2x)^{2(frac{1}{4x})} ?

frac{1}{4}=ln(2x)^{(frac{1}{2x})} ?

frac{1}{4}=ln??(?2x)?^{e^{(ln frac{1}{2x})}} ? teorema ln: y=e^{ln?(y)}

frac{1}{4}=ln??(?2x)?^{e^{(-ln {2x})}} ? (pangkat negatif dari pecahan diturunkan)

frac{1}{4}=e^{ã-lnã⁡2x} ã??(ln⁡ã??(2x)) (pangkat diturunkan (fungsi logaritma))

-frac{1}{4}=e^{ã??-lnã??⁡2x} ã??(-ln⁡ã??(2x)) (dikali negatif agar pangkat (-ln(2x)) sama nilainya dengan suku -ln(2x)

frac{-1}{4}=(-ln?2x) e^{?-ln??2x } (tukar tempat)

W(-frac{1}{4})=-ln(?2x) (teorema fungsi omega: y=xe^x Leftrightarrow x=W(y))

-W(-frac{1}{4})=ln(?2x)

e^{-W(-1/4)}=2x teorema ln : e^{x}=y Leftrightarrow x = ln (y)

x=frac{e^{-W(-frac{1}{4})}}{2}

Semoga Bermanfaat

Referensi: Wikipedia

  • Pusing mas, aku pusing bacanya hehehe..

    Makasih sudah meluangkan waktunya.
    Semoga bermanfaat buat semua.