Segitiga Sembarang dengan Sisi $$x$$, $$y$$, dan $$z$$ dengan garis tinggi $$t_x$$

Jawaban Soal Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan

Posted on Posted in Bangun Datar, Persamaan, Sistem Persamaan

Soal tantangan matematika, mmmmh memang seharusnya menantang ya dannnnn membuat penasaran para pecinta matematika. Siapakah disini yang penasaran dengan Jawaban Soal Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan di bawah ini?

Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan
Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan

Sebelum saya bahas mungkin saya coba artikan pertanyaan dari soalnya ya. Pertanyaannya adalah

Diberikan sebuah bilangan real x, y, dan z yang memenuhi sistem persamaan di atas. Jika x+y+z = \dfrac {m}{\sqrt {n}} dimana m dan n adalah bilangan bulat positif dengan n adalah square-free (bilangan bulat yang tidak bisa dibagi oleh bilangan kuadrat dan hanya bisa dibagi oleh bilangan 1). Tentukan nilai dari m+n?

Oke, mungkin istilah square-free ini sedikit membingungkan bagi sebagian orang ya. Untuk lebih jelasnya mungkin bisa baca tulisan ini: Square-free Integer
 
Lalu bagi yang sudah membaca postingan asli dari pertanyaan Soal Tantangan Matematika ini (klik di sini untuk melihat pertanyaannya) pasti tahu bahwa wolframalpha tidak bisa menjelaskan "cara" menemukan jawabannya tapi langsung memberikan nilai dari x, y dan z nya saja, yaitu x = \dfrac {8}{15\sqrt {7}}, y = \dfrac {2}{3\sqrt {7}} dan z = \dfrac {4}{5\sqrt {7}}. Yang artinya

x + y + z =  \dfrac {8}{15\sqrt {7}} + \dfrac {2}{3\sqrt {7}} + \dfrac {4}{5\sqrt {7}}

x + y + z =  \dfrac {30}{15\sqrt {7}} = \dfrac {2}{\sqrt {7}}

Karena x + y + z =  \dfrac {m}{\sqrt {n}}, maka nilai m = 2 dan n = 7 sehingga diperoleh m + n = 2+7 = 9. Ketemu deh jawabannya tapi bagaimanakah dengan caranya? Mari kita bahas :)
 
Pertama. Saya ingin mengajak kalian untuk melihat sesuatu yang sangat menarik, yaitu hubungan sebuah persamaan aljabar dengan bangun geometri (atau grafik jika diletakkan ke dalam koordinat kartesius) karena mereka memang mempunyai hubungan. Seperti persamaan aljabar x^2 + y^2 = 9 menjadi sebuah bangun geometri/grafik yang berbentuk lingkaran jika diletakkan ke dalam koordinat kartesius yang kemudian dinamakan persamaan lingkaran atau persamaan aljabar x^{2}+\left( \dfrac {5y}{4}-\sqrt {\left| x\right| }\right) ^{2}=1 yang kemudian menjadi sebuah bangun geometri/grafik yang berbentuk "LOVE" dan lain-lain.

 

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini:

Hubungan Aljabar dengan Grafiknya
Hubungan Aljabar dengan Grafiknya

Itulah kenapa disetiap saya mengajar, saya selalu mengajak murid privat saya untuk melihat grafik dari sebuah persamaan aljabar karena setiap persamaan aljabar itu mempunyai bangun/grafik begitu juga sebaliknya. Dengan begitu mereka bisa membayangkan dan menganalisa beberapa hal yang HANYA terlihat dalam bentuk grafik, contohnya seperti alasan kenapa ada sistem persamaan yang hanya mempunyai satu solusi, mempunyai banyak solusi atau tidak mempunyai solusi dan alasan kenapa ada persamaan/fungsi kuadrat yang tidak mempunyai akar serta logika apa yang menyebabkan sebuah fungsi/persamaan kuadrat menjadi definit. Nah dengan bermain logika seperti inilah maka matematika akan menjadi pelajaran yang seru dan menarik bukan hanya menyelesaikan sebuah persamaan aljabar saja (berhitung). Sayang banget lho :)

Untuk penjelasan tentang definit kebetulan sudah saya jelaskan dalam bentuk video di bawah ini.
Pengertian Definit - Konsep

Klik tautan ini jika video di atas tidak muncul.

Menarikkan? Dengan mempelajari matematika seperti itu, maka secara gak langsung kalian bisa memahami sebuah rumus/definisi tanpa harus menghapalnya, contohnya ya penjelasan syarat dari definit positif dan definit negatif dari video di atas (ditonton ya karena penting banget).

 

Baca Juga: Pengertian Definit Untuk Persamaan atau Fungsi Kuadrat

 

Lalu mungkin pertanyaannya bagaimana menghubungkan persamaan-persamaan pada Soal Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan ini menjadi bangun/grafik?

Catatan: Sebuah bangun/grafik, contohnya lingkaran jika hanya digambar tanpa menggunakan koordinat kartesius akan terlihat sebagai sebuah gambar lingkaran yang mungkin HANYA terlihat jari-jarinya saja tanpa ada persamaan x, y nya tetapi jika diletakkan ke dalam koordinat kartesius maka akan membentuk sebuah persamaan yang mengandung x dan y. Lalu jika ada sebuah bangun yang dibuat tanpa koordinat kartesius tetapi tidak diketahui masing-masing panjangnya kita bisa menciptakan sebuah variabel yang ujung-ujungnya akan menjadi sebuah bentuk aljabar. Mungkin ini agak sedikit membingungkan untuk yang baru belajar matematika ya, tapi percaya deh ini gak serumit yang kalian bayangkan kok :)

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Hubungan Gambar dengan Grafiknya pada Kartesius
Hubungan Gambar dengan Grafiknya pada Kartesius

Oke, sekarang coba perhatikan gambar segitiga yang tanpa koordinat kartesius dengan panjang sisi-sisinya adalah x, y, dan z. Lalu apakah Soal Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan tersebut mempunyai hubungan dengan sebuah segitiga? Untuk lebih jelasnya mungkin perhatikan beberapa penjelasan berikut ya, karena memang agak susah menjelaskannya dengan kata-kata :)

  1. Diberikan sebuah segitiga ABC sembarang dengan panjang sisinya adalah x, y, dan z.
    Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z
    Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z.
  2. Lalu kalau kita buat garis tinggi dari titik C ke garis AB dengan panjang t_x yang membuat panjang AB, yaitu x terbagi menjadi dua, yaitu x_1 dan x_2 dengan x = x_1 + x_2.
    Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z dengan garis tinggi tx
    Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z dengan garis tinggi t_x
  3. Gunakan teorema Phytagoras untuk mencari nilai dari x agar mempunyai hubungan dengan y dan z. Untuk x_1 = \sqrt {y^{2}- {t_x}^{2}} lalu untuk x_2 = \sqrt {z^{2}- {t_x}^{2}} sehingga diperoleh nilai x, yaitu:

    x = x_1 + x_2 = \sqrt {y^{2}- {t_x}^{2}} + \sqrt {z^{2}- {t_x}^{2}}

  4. Lalu dengan cara yang sama. Kita bisa memperoleh nilai dari y, yaitu:

    y = y_1 + y_2 = \sqrt {z^{2}- {t_y}^{2}} + \sqrt {x^{2}- {t_y}^{2}}

    dengan t_y adalah garis tinggi yang ditarik titik B ke garis AC. Kemudian kita bisa memperoleh nilai dari z, yaitu:

    z = z_1 + z_2 = \sqrt {x^{2}- {t_z}^{2}} + \sqrt {y^{2}- {t_z}^{2}}

    dengan t_z adalah garis tinggi yang ditarik titik A ke garis BC.

 

Oke, sampai disini kita sudah memperoleh persamaan aljabar dari bangun geometri tanpa menggunakan koordinat kartesius ya? Kenapa bisa? Karena kita menciptakannya. Menarik ya? :)

Lalu kalau diperhatikan masing-masing nilainya, yaitu:

x = \sqrt {y^{2}- {t_x}^{2}} + \sqrt {z^{2}- {t_x}^{2}}

y = \sqrt {z^{2}- {t_y}^{2}} + \sqrt {x^{2}- {t_y}^{2}}

z = \sqrt {x^{2}- {t_z}^{2}} + \sqrt {y^{2}- {t_z}^{2}}

apakah mempunyai hubungan dengan Soal Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan yang ditanyakan? Biar lebih enak persamaan-persamaannya akan saya tulis ulang ya

x = \sqrt {y^{2}- \dfrac {1}{16}} + \sqrt {z^{2}- \dfrac {1}{16}}

y = \sqrt {z^{2}- \dfrac {1}{25}} + \sqrt {x^{2}- \dfrac {1}{25}}

z = \sqrt {x^{2}- \dfrac {1}{36}} + \sqrt {y^{2}- \dfrac {1}{36}}

Sekarang coba perhatikan nilai x yang kita peroleh dengan nilai x yang di soal? Bisa gak sih kalau nilai t_x nya itu kita ganti dengan \dfrac {1}{4}? Ya tentu saja bisa. Ada yang bingung? Oke mungkin sebagian ada yang masih bingung ya, untuk lebih jelasnya coba perhatikan logika di bawah ini:

  1. Kita tahu rumus umum persamaan lingkaran yang berpusat di \left( 0,0\right) dan berjari-jari r adalah x^2 + y^2 = r^2.
  2. Lalu kalau jari-jarinya adalah 3 maka persamaan lingkarannya x^2 + y^2 = 9, terus kalau jari-jarinya adalah \dfrac {1}{4} maka persamaan lingkarannya x^2 + y^2 = \dfrac {1}{16}. Dan berapapun jari-jarinya, variable nya selalu tetap, yaitu x^2 + y^2.
  3. Sekarang kalau kita anggap x = \sqrt {y^{2}- {t_x}^{2}} + \sqrt {z^{2}- {t_x}^{2}} adalah sebuah rumus umum seperti rumus umum persamaan lingkaran, lalu t_x kita anggap jari-jarinya. Lalu jika t_x = \dfrac {1}{4} maka kita bisa peroleh x = \sqrt {y^{2}- \dfrac {1}{16}} + \sqrt {z^{2}- \dfrac {1}{16}}. Udah sama seperti soalnya deh. Bagaimana, setuju gak? :)
  4. Kemudian dengan logika yang sama, misal t_y = \dfrac {1}{5} maka kita bisa peroleh y = \sqrt {z^{2}- \dfrac {1}{25}} + \sqrt {x^{2}- \dfrac {1}{25}} lalu misal t_z = \dfrac {1}{6} maka kita bisa peroleh x = \sqrt {x^{2}- \dfrac {1}{36}} + \sqrt {y^{2}- \dfrac {1}{36}}.

 

Oke, sekarang kita sudah menemukan tiga buah persamaan seperti pada soal ya. Pertanyaan selanjutnya mungkin apakah ketiga persamaan tersebut bisa diletakkan ke dalam satu gambar saja, yaitu segitiga ABC tadi. Apakah bisa? Mmmmh, sebelum saya jawab coba perhatikan lagi pertanyaannya. Di pertanyaannya dijelaskan bahwa nilai x, y, dan z memenuhi sistem persamaan. Ini artinya ketiga nilai x, y, dan z saling berkaitan satu dengan yang lainnya pada ketiga persamaan tersebut sehingga ketiga persamaan tersebut bisa diletakkan ke dalam satu gambar seperti ini :)

Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z
Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z dengan tinggi \dfrac {1}{4}, \dfrac {1}{5}, dan \dfrac {1}{6}

Sekarang coba perhatikan segitiga ABC di atas, lalu masih ingat gak tadi saya bilang kita bisa melihat sesuatu yang tidak terlihat dalam bentuk persamaan aljabar tetapi terlihat jelas jika dalam sebuah bangun geometri? Ada yang bisa melihatnya? Mmmmh butuh proses memang untuk bisa melihatnya ya, saya coba bantu ya. Jika kita punya sebuah garis tinggi dari sebuah bangun, dalam hal ini segitiga kita bisa cari luas segitiganya menggunakan rumus umum, L_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times alas \times tinggi sebagai berikut:

  1. Luas Segitiga ABC menggunakan x sebagai alas dengan \dfrac {1}{4} sebagai tingginya, yaitu:

    L_{ABC} = \dfrac {1}{8} x

  2. Luas Segitiga ABC menggunakan y sebagai alas dengan \dfrac {1}{5} sebagai tingginya, yaitu:

    L_{ABC} = \dfrac {1}{10} y

  3. Luas Segitiga ABC menggunakan z sebagai alas dengan \dfrac {1}{6} sebagai tingginya, yaitu:

    L_{ABC} = \dfrac {1}{12} z

 

Oke sampai disini, mungkin ada yang menanyakan apa hubungan luas segitiga ABC dengan Soal Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan? Ya hubungannya sih tetap, yaitu mencari nilai x, y, dan z. Tapi bagaimana? Mmmmh kalian ada yang tahu gak cara lain mencari luas segitiga menggunakan rumus ini

L_{ABC} = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}

dengan s = \dfrac {1}{2} \left(x + y + z\right). Rumus tersebut dinamakan Heron Formula atau Rumus Heron, yaitu rumus untuk mencari luas segitiga jika hanya diketahui sisi-sisinya saja.

Oke, sampai disini kita bisa mencari hubungan luas segitiga dengan rumus umum dan rumus heron. Saya pilih L_{ABC} = \dfrac {1}{12} z sebagai rumus umumnya ya (kalian bebas memilih rumus umum yang mana saja karena hasilnya pasti sama). Sehingga hubungannya menjadi

\dfrac {1}{12} z = \sqrt{s \left(s-x \right)\left(s-y \right) \left(s-z \right)}

Karena persamaan aljabarnya itu di dalam z maka kita harus mencari nilai x, y dan s ke dalam z. Perhatikan langkah-langkah berikut:

  1. Hubungan nilai x dengan nilai z menggunakan perbandingan rumus luas segitiga umum:

    \dfrac {1}{8} x = \dfrac {1}{12} z

    x= \dfrac {8}{12} z

  2. Hubungan nilai y dengan nilai z menggunakan perbandingan rumus luas segitiga umum:

    \dfrac {1}{10} y = \dfrac {1}{12} z

    y= \dfrac {10}{12} z

  3. Hubungan nilai s dengan nilai z menggunakan nilai x dan nilai y yang kita peroleh sebelumnya:

    s = \dfrac {1}{2} \left( \dfrac {8}{12} z +  \dfrac {10}{12} z + z\right)

    s = \dfrac {1}{2} \left( \dfrac {30}{12} z \right)

    s = \dfrac {15}{12}z

Sehingga bentuk \dfrac {1}{12} z = \sqrt{s \left(s-x \right)\left(s-y \right) \left(s-z \right)} bisa kita tulis menjadi:

\dfrac {1}{12} z = \sqrt{ \dfrac {15}{12}z\left( \dfrac {15}{12}z- \dfrac {8}{12} z\right)\left( \dfrac {15}{12}z- \dfrac {10}{12} z\right)\left( \dfrac {15}{12}z-z\right)}

\dfrac {1}{12} z = \sqrt{ \dfrac {15}{12}z\left( \dfrac {7}{12}z\right)\left( \dfrac {5}{12} z\right)\left( \dfrac {3}{12}z\right)}

\dfrac {1}{12} z = \sqrt{ \left(\dfrac {15 \times 7 \times 5 \times 3}{12 \times 12 \times 12 \times 12}\right) z^4 }

\dfrac {1}{12} z = \sqrt{ \left(\dfrac {15^{2} \times 7}{12 ^{4}}\right)z^4}

\dfrac {1}{12} z = \dfrac {15}{12^{2}} z^{2}\sqrt{7}

1 = \dfrac {15 \sqrt {7}}{12} z

\dfrac {12}{15 \sqrt {7}} = z

\dfrac {4}{5 \sqrt {7}} = z

Ketemu deh nilai dari z nya tanpa perlu mengutak-ngatik sistem persamaan kuadrat yang ribet itu yak hehe. Itulah efek dari kita bisa melihat sebuah persamaan menjadi bentuk geometri. Penting kan? :)

Dengan kata lain, kita juga bisa memperoleh nilai dari x, yaitu:

x= \dfrac {8}{12} z

x= \dfrac {8}{12} \left(\dfrac {12}{15 \sqrt {7}}\right)

x= \dfrac {8}{15 \sqrt {7}} z

dan nilai dari y, yaitu:

y= \dfrac {10}{12} z

y= \dfrac {10}{12} \left(\dfrac {12}{15 \sqrt {7}}\right)

y= \dfrac {10}{15 \sqrt {7}} z

y= \dfrac {2}{3 \sqrt {7}} z

Bagaimana? Menarik kan? :)

 

Baca Juga: Kumpulan Soal Tantangan Matematika

 

Oke, jika masih ada yang bingung bagaimana bisa sebuah sistem persamaan seperti soal di atas digambarkan menjadi sebuah bangun segitiga? Mungkin coba perhatikan langkah-langkah berikut:

  1. Bagaimana jika soalnya saya ganti jadi seperti ini. Diberikan sebuah segitiga sembarang dengan panjang sisi-sisinya adalah x, y, dan z dengan masing-masing garis tingginya adalah \dfrac {1}{4}, \dfrac {1}{5}, dan \dfrac {1}{6}. Kita bisa bikin gambarnya menjadi seperti ini
    Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z
    Segitiga Sembarang dengan Sisi x, y, dan z dengan tinggi \dfrac {1}{4}, \dfrac {1}{5}, dan \dfrac {1}{6}
  2. Lalu dengan teorema Phytagoras kita bisa membentuk nilai dari masing-masing sisinya, yaitu:

    x = \sqrt {y^{2}- \dfrac {1}{16}} + \sqrt {z^{2}- \dfrac {1}{16}}

    y = \sqrt {z^{2}- \dfrac {1}{25}} + \sqrt {x^{2}- \dfrac {1}{25}}

    z = \sqrt {x^{2}- \dfrac {1}{36}} + \sqrt {y^{2}- \dfrac {1}{36}}

    Ternyata bentuk geometri segitiga dan persamaan aljabar pada sistem persamaan kuadrat pada soal sama ya! Jadi ya memang bisa kita hubungkan ketiga persamaan-persamaan aljabar pada soal tersebut menjadi satu bagian di dalam segitiga yang kita gunakan sebagai pengandaian. Kenapa bisa seperti itu? Karena nilai-nilai x, y, dan z memenuhi sistem persamaannya. Menarik kan? :)

Sekali lagi saya ingatkan, pentingnya bisa menggambar grafik dari sebuah persamaan aljabar karena itu akan membantu kalian melihat atau menganalisa sesuatu yang mungkin hanya terlihat dalam bentuk grafik. Seperti integral bentuk mutlak, contohnya dan masih banyak lagi.

Selamat bisa dimengerti ya :)

Salam,

@isranurhadi

Add Official Line@ dari Istana Matematika untuk berdiskusi dengan saya dan belajar privat online bersama team Istana Matematika! Caranya:

  1. Search @istanamatematika di Line kamu, ingat pake "@" ya.
  2. Add langsung
    Add Friend
  3. Klik @IstanaMatematika
  4. Scan barcode
  • haikal hagianto

    Excelent Kak,ngga kepikiran solusi melalui analogi geometry,,,,,,,,,,,,saya kira hanya melalui aljabar saja

    • isranurhadi

      Hehe wajar kalau gak kepikiran kok :)

      Tapi coba analoginya gini. Kalau ketemu soal geometri, ngerjainnya pake apa? Aljabar kan? Jadi mereka memang berhubungan :)

  • Pingback: Sistem Persamaan Kuadrat Teraneh - #SoalTantangan()