Deret Teleskopik

Posted on Posted in Aljabar, Olimpiade

Mungkin di antara kalian ada yang bertanya-tanya apa itu deret teleskopik? atau mungkin akan berkata "Saya hanya kenal deret aritmatika dan geometri saja..." atau mungkin ada yang berkata "Dengar namanya saja udah gak kebayang gimana bentuknya..."

Deret teleskopik memang tidak dipelajari di sekolah, materi deret teleskopik biasa dipakai dalam lomba-lomba atau kompetisi matematika seperti olimpiade.

Ada tiga bentuk deret teleskopik yang biasa dipakai dalam kompetisi matematika atau olimpiade.

1.frac{1}{k(k+1)}=frac{1}{k}-frac{1}{k+1}

contoh:

Tentukan jumlah dari frac{1}{5times7}+frac{1}{7times9}+ldots+frac{1}{13times15}

berdasarkan rumusan di atas, maka bentuk deret dapat diubah menjadi

begin{matrix} frac{1}{5times7}+frac{1}{7times9}+ldots+frac{1}{13times15}&=&frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+ldots+frac{1}{13}-frac{1}{15} &=&frac{1}{5}-frac{1}{15} &=&frac{3-1}{15} &=&frac{2}{15} end{matrix}

2. frac{1}{k(k+m)}=frac{1}{m}(frac{1}{k}-frac{1}{k+m})

contoh:

Hitunglah jumlah dari frac{1}{3}+frac{1}{15}+ldots+frac{1}{143}

berdasarkan rumusan di atas, maka bentuk deret dapat diubah menjadi

begin{matrix} frac{1}{3}+frac{1}{15}+ldots+frac{1}{143}&=&frac{1}{1times3}+frac{1}{3times5}+ldots+frac{1}{11times13} &=&frac{1}{1(1+2)}+frac{1}{3(3+2)}+dots+frac{1}{11(11+2)} &=&frac{1}{2}((1-frac{1}{3})+(frac{1}{3}-frac{1}{5})+ldots+(frac{1}{11}-frac{1}{13})) &=&frac{1}{2}(1-frac{1}{13}) &=&frac{1}{2}(frac{12}{13}) &=&frac{6}{13} end{matrix}

3. frac{1}{k(k+1)(k+2)}=frac{1}{2}[frac{1}{k(k+1)}-frac{1}{(k+1)(k+2)}]

Contoh:

frac{1}{1times2times3}+frac{1}{2times3times4}+ldots+frac{1}{100times101times102}=ldots

berdasarkan rumusan di atas, maka bentuk deret dapat diubah menjadi

begin{matrix} frac{1}{1times2times3}+frac{1}{2times3times4}+ldots+frac{1}{100times101times102}&=&frac{1}{2}[frac{1}{1times2}-frac{1}{2times3}+ldots+frac{1}{100times101}-frac{1}{101times102}] &=&frac{1}{2}[frac{1}{1times2}-frac{1}{101times102}] &=&frac{1}{2}[frac{1}{2}-frac{1}{10302}] &=&frac{1}{2}timesfrac{1}{2}[1-frac{1}{5151}] &=&frac{1}{4}(frac{5150}{5151}) &=&frac{5150}{20604} end{matrix}

jadi, jangan pusing duluan begitu melihat soal yang berderet begitu panjang, coba cari dahulu bentuk polanya dan cocokkan dengan salah satu dari ketiga rumus di atas. Terima kasih...