Bola dijatuhkan sampai berhenti - Aplikasi Deret Geometri

Bola dijatuhkan sampai berhenti - Aplikasi Deret Geometri

Oke kali ini saya akan membahas sebuah soal yang menarik tentang aplikasi deret geometri, soalnya sebagai berikut:

Tipe soal di atas (selanjutnya akan saya sebut soal pertama) adalah soal aplikasi dari deret geometri, biasanya soal ini diberikan kepada siswa/i yang mau ujian nasional matematika - UN matematika SMA. Soal ini bisa dibilang menarik karena yang ditanyakan adalah panjang lintasan bola tersebut mulai dari pantulan ke-4 sampai berhenti. Soal dengan pertanyaan tersebut sangat jarang keluar di UN matematika SMA, biasanya soal yang sering keluar adalah soal yang ditanyakannya itu adalah panjang lintasan bola ketika dijatuhkan sampai berhenti bukan mulai dari pantulan ke berapa sampai berhenti (perhatikan pertanyaannya). Tetapi bagaimana jika soal ini keluar di UN matematika SMA? Lalu bagaimanakah solusinya? 

Sebelum saya membahas soal pertama tentang aplikasi deret geometri ini. Saya ingin memberikan dan menjelaskan soal yang serupa tetapi mempunyai pertanyaan yang sedikit berbeda, yaitu:

Sekali lagi perhatikan pertanyaannya. 

Tipe soal di atas (selanjutnya akan saya sebut soal kedua) adalah soal yang sering keluar di ujian nasional matematika SMA dan solusi untuk soal ini sangatlah mudah jika menggunakan rumus. Rumusnya adalah sebagai berikut:

$$S = 2 \left(S_\infty\right) - a$$

dengan $S_\infty = \frac{a}{1-r}$

Atau bisa juga menggunakan rumus berikut:

$$S = \frac {a\left(1 + r\right)}{\left(1 - r\right)}$$

Kedua rumus tersebut bisa digunakan untuk menyelesaikan soal kedua, TETAPI tidak untuk soal pertama. Kenapa? Kalian akan temukan sendiri jawabannya jika membaca tulisan ini sampai selesai :).

Sekarang saya akan coba membahas soal yang kedua dulu ya. Di soal kedua kita tinggal mencari nilai dari $a$ dan nilai dari $r$. Kita peroleh nilai $a = 2$ dan nilai $r = \frac {3}{4}$. Lalu kita tinggal terapkan ke salah satu rumus di atas. Saya pilih rumus yang ini ya:

$$S = \frac {a\left(1 + r\right)}{\left(1 - r\right)}$$

Sehingga kita bisa peroleh panjang lintasan bola tersebut ketika dijatuhkan sampai berhenti, yaitu:

$$S = \frac {2\left(1 + \frac {3}{4}\right)}{\left(1 - \frac {3}{4}\right)}$$

$$S = \frac {2\left( \frac {7}{4}\right)}{\frac {1}{4}}$$

$$S = \frac {2\left( 7 \right )}{1}$$

$$S = 14$$

Berarti panjang lintasan bola tersebut ketika dijatuhkan dari ketinggian $2$ $m$ sampai berhenti adalah $14$ $m$. 

Catatan: Jawaban untuk soal kedua tidak ada pilihannya di pilihan gandanya karena soalnya saya ubah. 

Oke sampai di sini coba kalian perhatikan lagi deh, gampang kan ya kalau kita menggunakan rumus? Tinggal masukin data yang diketahui lalu selesai deh. Tetapi apakah kalian tahu ilustrasi (gambar) dari soal tersebut? Dari bola dijatuhkan sampai dia berhenti? Analisanya bagaimana? Kalau kalian tahu kalian tidak akan mau menggunakan rumus dan kalian bisa dengan mudah menemukan jawaban dari soal pertama maupun soal kedua. 

Kalau kita bisa menganalisa sebuah soal, kita bisa menjawab soal dengan pertanyaan apapun dan bahkan kita tidak perlu rumus.

Oke, saya akan coba bikin ilustrasinya dan menjawab kedua soal tersebut tanpa menggunakan rumus. Perhatikan ya:

Kira-kira Ilustrasinya seperti gambar di atas. Lalu dari gambar tersebut kita tinggal mencacah untuk menganalisanya, yaitu proses ketika bola tersebut dijatuhkan sampai berhenti.

• Kondisi bola tersebut jatuh.
  Dari gambar di atas kita punya panjang lintasan pertama, yaitu:
  

  $$S_1 = 2 + \frac {3}{2} + \frac {9}{8} + \frac {27}{32} + ....$$

  $$\frac {3}{4}\left(S_1\right)= \frac {3}{4} \left(2 + \frac {3}{2} + \frac {9}{8} + \frac {27}{32} + .... \right)$$

  $$\frac {3}{4}\left(S_1\right)=\frac {3}{2} + \frac {9}{8} + \frac {27}{32} + ....$$

  Sampai disini diapain lagi ya? Mmmmh... Ada yang tahu? Coba perhatikan persamaan $S_1 = 2 + \frac {3}{2} + \frac {9}{8} + \frac {27}{32} + ....$

  Nilai $\frac {3}{2} + \frac {9}{8} + \frac {27}{32} + ....$ mempunyai nilai yang sama dengan $S_{1} - 2$.

  Sehingga persamaan tadi bisa kita tulis menjadi:

  $$\frac {3}{4}\left(S_1\right)= S_{1} - 2$$

  $$2= S_{1} - \frac {3}{4}\left(S_1\right)$$

  $$2= \frac {1}{4}\left(S_1\right)$$

  $$8 = S_1$$

  Cara di atas sengaja saya uraikan dengan tidak menggunakan rumus $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ sebagai pembuktian bahwa sebenarnya kalian gak perlu menggunakan rumus hehe. Mungkin untuk kondisi bola tersebut terpantul akan saya gunakan.
• Kondisi bola tersebut terpantul.Oke, sebelum dibahas coba perhatikan perbedaan arahnya ya.

  Sedikit pemahaman karena ini penting, ketika bola dijatuhkan dan kembali terpantul, panjang lintasan bola setelah memantul sama dengan panjang lintasan bola yang akan dijatuhkan kembali. Untuk panjang lintasan bola terpantul yang pertama arahnya saya tulis di bola kedua ya dan ini berlaku untuk seterusnya. Kita sepakati ini dulu baru bisa melanjutkan prosesnya.

  Bagaimana? Kita lanjut ya.

  Kita akan gunakan rumus $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ dengan nilai $a = \frac {3}{2}$ dan nilai $r= \frac {3}{4}$. Sehingga panjang lintasan kedua adalah:

  $$S_2 = \frac {\frac {3}{2}}{1 - \frac {3}{4}}$$

  $$S_2 = \frac {\frac {3}{2}}{\frac {1}{4}}$$

  $$S_2 = 6$$

Dari kedua kondisi di atas maka panjang lintasan bola yang dijatuhkan sampai berhenti adalah jumlah dari saat bola dijatuhkan dan terpantul kembali, yaitu:

$$S_{total} = S_{1} + S_{2}$$

$$S_{total} = 8 + 6$$

$$S_{total} = 14$$

Oke sampai disini coba dipahami lagi untuk melihat analisanya sehingga nanti kalian gak perlu menggunakan rumus untuk mengerjakan soal seperti ini.

Semoga bisa dimengerti ya. Selanjutnya saya akan menjawab soal yang pertama, yaitu panjang lintasan bola mulai dari pantulan ke-4 sampai berhenti. Coba perhatikan lagi gambar di atas ketika bola dijatuhkan dan ketika bola terpantul karena akan saya gunakan untuk proses analisanya.

• Dari gambar ketika bola dijatuhkan, kita punya panjang lintasan pertamanya adalah

  $$S_1 = \frac {81}{128} + \frac {243}{512} + ...$$

  Kita akan gunakan rumus $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ dengan nilai $a = \frac {81}{128}$ dan nilai $r= \frac {3}{4}$.

  Sehingga panjang lintasan pertama adalah:

  $$S_1 = \frac {\frac {81}{128}}{1 - \frac {3}{4}}$$

  $$S_1 = \frac {\frac {81}{128}}{\frac {1}{4}}$$

  $$S_1 = \frac {81}{32}$$

• Dari gambar ketika bola terpantul, kita punya panjang lintasan keduanya adalah

  $$S_2 = \frac {81}{128} + \frac {243}{512} + ...$$

  Kita akan gunakan rumus $S_\infty = \frac{a}{1-r}$ dengan nilai $a = \frac {81}{128}$ dan nilai $r= \frac {3}{4}$. Sehingga panjang lintasan pertama adalah:

  $$S_2 = \frac {\frac {81}{128}}{1 - \frac {3}{4}}$$

  $$S_2 = \frac {\frac {81}{128}}{\frac {1}{4}}$$

  $$S_2 = \frac {81}{32}$$

  Wah ternyata deretnya sama ya, apakah kalian bisa melihatnya? Coba bikin ilustrasi sendiri ya biar bisa dipahami lebih lanjut.

Dari kedua kondisi di atas maka panjang lintasan bola tersebut mulai dari pantulan ke-4 sampai berhenti adalah jumlah dari kedua kondisi tadi ya, yaitu:

$$S_{total} = S_{1} + S_{2}$$

$$S_{total} = \frac {81}{2} + \frac {81}{32}$$

$$S_{total} = \frac {162}{32}$$

$$S_{total} = 5\frac {2}{32}$$

$$S_{total} = 5\frac {1}{16}$$

Oke sampai disini coba dipahami lagi dan semoga bisa dipahami ya! 🙂

Sukses buat ujian nasional matematikanya!

Catatan: Proses menjawab seperti ini akan kalian temukan di Buku Matematika SIMAK UI

Uiya bagi yang ingin tahu cara mengerjakan deret geometri tak hingga tanpa rumus, bisa ke:

• Aplikasi Eksponen dalam Deret Geometri Tak Hingga bagian 1
• Aplikasi Eksponen dalam Deret Geometri Tak Hingga bagian 2

Salam

@isranurhadi