Barisan dan Deret

Aplikasi Logaritma dalam Deret Geometri - Prediksi Matematika IPA

Kali ini saya akan membahas soal yang ditanyakan oleh dua orang siswa SMA kelas XII IPA di Whatsapp dalam waktu yang berbeda. Soalnya adalah sebagai berikut:

Aplikasi Logaritma dalam Deret Geometri - Prediksi Matematika IPA
(null)

Jawaban: B

Pembahasan soal ini sangat mudah, asalkan kita tahu harus menggunakan rumus apa dan kenapa kita harus menggunakan rumus tersebut karena itu intinya, bukan asal masukin rumus saja.

Pada soal diberikan sebuah deret tak hingga, deret tak hingga ini belum diketahui apakah dia deret aritmatika atau deret geometri. Biasanya - untuk anak SMA - sebuah deret kalau dia tak hingga, deretnya adalah deret geometri. Tetapi apakah benar deret tak hingga ini adalah deret geometri tak hingga? Kita bisa membuktikannya dengan mencari hubungan antar suku-sukunya dengan menggunakan rumus rasio dari sebuah deret geometri, yaitu:

r = \frac{U_n}{U_\left(n-1\right)}

Pertama, kita bisa gunakan U_2 yaitu \left(^2 \log \left(3x -4\right) \right)^2 dan U_1 yaitu ^2 \log \left(3x -4\right) dengan rasionya adalah r = \frac{U_2}{U_1}, sehingga:

r = \frac{\left(^2 \log \left(3x -4\right) \right)^2}{^2 \log \left(3x -4\right)} = ^2 \log \left(3x -4\right)

Kedua, kita bisa gunakan U_3 yaitu \left(^2 \log \left(3x -4\right) \right)^3 dan U_2 yaitu \left(^2 \log \left(3x -4\right) \right)^2 dengan rasionya adalah r = \frac{U_3}{U_2}, sehingga:

r = \frac{\left(^2 \log \left(3x -4\right) \right)^3}{\left(^2 \log \left(3x -4\right) \right)^2}= ^2 \log \left(3x -4\right)

Ternyata terbukti bahwa deret tak hingga ini adalah deret geometri tak hingga karena rasionya sama ketika kita uji ketiga sukunya, yaitu U_1, U_2, dan U_3.

Catatan: Penulisan logaritma dalam bentuk pangkat ^a {log}^n b , sebaiknya ditulis dalam bentuk \left( {^a log b} \right)^n karena bernilai sama dan agar lebih mudah melihatnya.

Oke, sampai disini kira-kira diapain lagi ya? Mmmmh. Coba kita perhatikan pertanyaannya "agar deret geometri logaritma tak hingga mempunyai limit jumlah, maka nilai x yang memenuhi adalah..."

Mmmmh, apakah sudah ada yang mengerti arah soalnya? Atau ada kalimat yang aneh gak? Bdw, kalian tahu gak sih arti dari limit jumlah? Itu maksudnya apakah kita akan mengerjakannya menggunakan limit yang biasanya kalian ketahui? Atau bagaimana? Hehehe..

Begini, sebuah deret tak hingga itu mempunyai dua jenis:

  1. Deret Tak Hingga yang Konvergen artinya deret yang mempunyai sebuah nilai atau deretnya mempunyai limit jumlah, dengan syarat rasionya adalah |r| < 1.
  2. Deret Tak Hingga yang Divergen artinya deret yang nilainya tidak ada atau tak hingga, jadi dengan kata lain limit jumlahnya juga tidak ada atau tak hingga dengan syarat rasionya adalah |r| \geq 1.

Nah untuk kalian yang masih SMA, dan ketika kalian belajar sebuah deret tak hingga kalian HANYA diberikan sebuah deret yang konvergen dengan rumus jumlah n suku pertamanya adalah S_\infty = \frac{a}{1-r} (saya biasa menyebutnya dengan istilah "air").

Oke, sampai disini kalian udah tahu dong akan menggunakan rumus apa untuk menyelesaikan soal ini? Kalau ada yang belum tahu coba baca lagi ya :).

Sebenarnya rumus asli dari deret tak hingga yang konvergen itu diperoleh dari sebuah limit, kurang lebih begini rumusnya:

\lim \limits_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r}

Kalau kita masukkan nilai limitnya, maka diperoleh:

S_\infty = \frac{a}{1-r}

Jadi secara gak langsung sebelum kalian belajar deret tak hingga kalian harus belajar limit dulu dan belajarnya sih harusnya benar ya bukan main substitusi saja atau kali akar sekawan dan lain-lainnya :).

Untuk penjelasan deret konvergen dan deret divergen menyusul ya, soalnya lumayan panjang dan saya lagi sibuk ngedit buku pembahasan matematika SIMAK UI nih. Beli dong hehe. Bisa lihat sampel nya dulu di Buku Matematika SIMAK UI.

Oke kita balik lagi ke soalnya. Kita akan menggunakan rumus...... *masuk diiringi suara marching band*:

|r| < 1

Oke, rumus rasio ini melibatkan dua hal penting dalam mempelajari matematika, yaitu nilai mutlak dan pertidaksamaan (pertidaksamaannya dalam bentuk nilai mutlak lagi hehe). Ada yang selalu kebingungan dengan dua hal penting tersebut? Kalau ada baca ini ya Kumpulan Pertidaksamaan Nilai Mutlak atau tulisan saya mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak yang saya sukai di sini.

Habis itu jangan lupa nonton video di bawah ini, untuk penguatan konsep dasar dari Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak - Konsep Dasar

Klik tautan ini jika video diatas tidak muncul.

Udah selesai nontonnya belum? Kalau belum nonton lagi soalnya saya akan menggunakan konsep tersebut untuk membahas soal ini *videonya jangan lupa di Like dan di komen ya (ngarep) hehe...*

Oke-oke kita serius lagi, mari kita bahas soalnya:

|r| < 1

|^2 \log \left(3x -4\right)| < 1

\left(|^2 \log \left(3x -4\right)|\right)^2 < \left(1\right)^2

\left(^2 \log \left(3x -4\right)\right)^2 < \left(1\right)^2

Karena dikuadratkan nilai mutlaknya hilang *horeeee*

\left(^2 \log \left(3x -4\right)\right)^2 - \left(1\right)^2 < 0

Masih inget rumus ini gak? a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\left(a - b\right). Kita akan gunakan rumus tersebut. Jadi:

\left(^2 \log \left(3x -4\right) + 1\right)\left(^2 \log \left(3x -4\right) - 1\right) < 0

Sehingga kita bisa peroleh ^2 \log \left(3x -4\right) + 1 = 0 atau ^2 \log \left(3x -4\right) - 1 = 0. Kok pake "="? Ya ini untuk menentukan nilainya di dalam garis bilangan. Penggunaan = ini disebut hukum faktor nol, dan penting banget lho dalam matematika. Selanjutnya untuk ^2 \log \left(3x -4\right) + 1 = 0 diperoleh:

^2 \log \left(3x -4\right) = - 1

^2 \log \left(3x -4\right) = ^2 \log 2^{-1}

3x - 4 = 2^{-1}

3x - 4 = \frac{1}{2}

3x = \frac{9}{2}

x = \frac{3}{2}

Lalu untuk ^2 \log \left(3x -4\right) - 1 = 0 diperoleh:

^2 \log \left(3x -4\right) = 1

^2 \log \left(3x -4\right) = ^2 \log 2^{1}

3x - 4 = 2

3x = 6

x = 2

Nah karena ada dua nilai x, maka untuk membedakannya harus dikasih indeks, biasanya menggunakan angka, makanya ada x_1 dan x_2. Selanjutnya, nilai dari x tersebut kita letakkan ke dalam garis bilangan lalu kita uji daerahnya. Diperoleh: (null)

Lalu apakah \frac{3}{2} < x < 2 adalah himpunan penyelesaian akhirnya? Mmmmh belum tentu karena kita belum mengecek syarat dari logaritma. Untuk soal ini kita hanya mengecek syarat dari numerus logaritma saja, yaitu: \left(3x -4\right) > 0. Diperoleh:

3x > 4

x > \frac{4}{3}

Lalu kita letakkan ke dalam garis bilangan lagi deh, jadinya seperti ini:
(null)

Kemudian kita cari irisannya, diperoleh:
(null)

Oke sampai disini kita sudah bisa menentukan himpunan penyelesaian finalnya, yaitu:

\frac{3}{2} < x < 2

Kebetulan sama ya dengan himpunan penyelesaian yang tadi kita peroleh tetapi ini hanya kebetulan. Intinya ketika kalian berhadapan dengan soal aplikasi dari pertidaksamaan ini (baca: aplikasi logaritma), cek juga syarat aplikasinya, untuk soal ini syarat dari numerus logaritma. Karena biasanya jebakan betmennya di sana hehe.

Mengerjakan soal matematika itu sangat mudah asalkan kita tahu harus menggunakan rumus apa dan kenapa kita harus menggunakan rumus tersebut karena itu intinya, bukan asal masukin rumus saja.

Catatan: Bagi yang bingung cara menguji nilai x ke dalam garis bilangan bisa tonton video ini:

Konsep Dasar Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Klik tautan ini jika video diatas tidak muncul.

Jangan lupa ditonton ya videonya karena penting banget buat mencari Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan.

Baca Juga: Kumpulan Soal Deret Geometri Tak Hingga

Uiya bagi yang ingin tahu cara mengerjakan deret geometri tak hingga tanpa rumus, bisa ke:

Oke, semoga bisa dimengerti. Jika ada pertanyaan bisa tulis di kolom komentar karena saya akan senang dan bakalan rajin nulis nih kalau ada yang komentar di website atau di youtube. Pasti dibales! 🙂

Bagi yang ingin menjadi murid saya atau guru hebat lainnya dari Istana Matematika bisa ke halaman Cari Guru Privat Matematika.

Salam,

@isranurhadi